Summations in Proof of Theorem 11.5

$$\begin{array}{rl}F(s)G(s)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)n^{-s}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}g(m)m^{-s}\\ & =(\frac{f(1)}{1^s}+\frac{f(2)}{2^s}+\frac{f(3)}{3^s}+\frac{f(4)}{4^s}+\dots )(\frac{g(1)}{1^s}+\frac{g(2)}{2^s}+\frac{g(3)}{3^s}+\frac{g(4)}{4^s}+\dots )\\ & =\begin{array}{rl}& \frac{f(1)}{1^s}\frac{g(1)}{1^s}+\frac{f(1)}{1^s}\frac{g(2)}{2^s}+\frac{f(1)}{1^s}\frac{g(3)}{3^s}+\frac{f(1)}{1^s}\frac{g(4)}{4^s}+\dots \\ & \frac{f(2)}{1^s}\frac{g(1)}{1^s}+\frac{f(2)}{1^s}\frac{g(2)}{2^s}+\frac{f(2)}{1^s}\frac{g(3)}{3^s}+\frac{f(2)}{1^s}\frac{g(4)}{4^s}+\dots \\ & \frac{f(3)}{1^s}\frac{g(1)}{1^s}+\frac{f(3)}{1^s}\frac{g(2)}{2^s}+\frac{f(3)}{1^s}\frac{g(3)}{3^s}+\frac{f(3)}{1^s}\frac{g(4)}{4^s}+\dots \\ & \frac{f(4)}{1^s}\frac{g(1)}{1^s}+\frac{f(4)}{1^s}\frac{g(2)}{2^s}+\frac{f(4)}{1^s}\frac{g(3)}{3^s}+\frac{f(4)}{1^s}\frac{g(4)}{4^s}+\dots \end{array}\\ & =\begin{array}{rl}& \left(\frac{f(1)}{1^s}\frac{g(1)}{1^s}\right)+(\frac{f(1)}{1^s}\frac{g(2)}{2^s}+\frac{f(2)}{2^s}\frac{g(1)}{1^s})+(\frac{f(1)}{1^s}\frac{g(3)}{3^s}+\frac{f(3)}{3^s}\frac{g(1)}{1^s})+\\ & (\frac{f(1)}{1^s}\frac{g(4)}{4^s}+\frac{f(2)}{2^s}\frac{g(2)}{2^s}+\frac{f(4)}{4^s}\frac{g(1)}{1^s})\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{mn=k}\frac{f(n)}{n^s}\frac{g(m)}{m^s}\right)\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{mn=k}\frac{f(n)g(m)}{k^s}\right)\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^s}(\sum _{mn=k}f(n)g(m))\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^s}(f\ast g)(k)\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}h(k)k^{-s}.\end{array}\end{array}$$