# Trailing Zeros ## Illustration With \( 10! \) \begin{align*} 10! &= 3628800. \\ \\ 10! & = (1) \cdot (2) \cdot (3) \cdot (4) \cdot (5) \cdot (6) \cdot (7) \cdot (8) \cdot (9) \cdot (10) \\ & = (1) \cdot (2) \cdot (3) \cdot (2^2) \cdot (5) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (7) \cdot (2^3) \cdot (3^2) \cdot (2 \cdot 5) \\ & = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7. \\ \\ 10! & = 2^{\alpha(2)} \cdot 3^{\alpha(3)} \cdot 5^{\alpha(5)} \cdot 7^{\alpha(7)} \\ & = 2^{\left\lfloor \frac{10}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{10}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{10}{8} \right\rfloor} + 3^{\left\lfloor \frac{10}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{10}{9} \right\rfloor} + 5^{\left\lfloor \frac{10}{5} \right\rfloor} + 7^{\left\lfloor \frac{10}{7} \right\rfloor} \\ & = 2^{5 + 2 + 1} + 3^{3 + 1} + 5^{2} + 7^{1} \\ & = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7. \end{align*}